Historique
Ils constituent une forme très ancienne et très
répandue de stockage de l’énergie. Ils ont
été utilisés sur les tours de potiers depuis l’antiquité, et chaque
moteur thermique en comporte au moins un :
Ils ont pour objet de stocker l’énergie mécanique
sous forme d’énergie cinétique en rotation quand ils accélèrent, et de restituer
cette énergie quand ils ralentissent. Dans la plupart des applications, et
notamment pour les moteurs thermiques, leur objet est de régulariser cette
rotation malgré les variations périodiques ou aléatoires du couple moteur et/ou
du couple résistant. Les transferts d’énergie sont très fréquents et de faible
amplitude : ainsi, pour un moteur 4 cylindres 4 temps, soit 2 explosions
par tour, tournant à 3 000 t/min, la période de charge / décharge du
volant est de 10 millisecondes. Le « stockage » est donc très bref.
Il est aussi utilisé à grande échelle dans les
jouets, pour deux applications principales : les petites voitures appelées
à tort « à friction », et les toupies. Ces dernières existent aussi
sous une forme plus élaborée, dite gyroscope, aux propriétés déconcertantes,
quoique parfaitement modélisées par la Mécanique rationnelle, parfois utiles
(guidage inertiel), parfois indésirables (couple de précession, dite
« effet gyroscope ») :
Principe de fonctionnement d’une unité de stockage
Le volant d’inertie comporte sur son axe une
machine électrique réversible.
- Pendant l’entrée
en stock, la machine fonctionne en moteur : elle consomme l’énergie
électrique du réseau et la transforme en énergie cinétique par accélération du
volant jusqu’à sa vitesse maximum.
- En stockage,
la machine n’exerce aucun couple. Le volant tourne à vitesse constante, aux
dissipations près.
- Pour la restitution,
la machine fonctionne en génératrice qui ralentit le volant et transforme son
énergie cinétique en énergie électrique restituée au réseau.
La puissance d’entrée, souvent, mais pas
nécessairement, égale à la puissance de restitution, est celle de la machine
électrique avec son électronique de commande à vitesse variable. Les rendements
sont très bons.
Théorie des volants d’inertie
Cylindre creux mince (r >> Δr)
Il est facile (formules
établies par l’auteur) de modéliser un volant d’inertie réalisé sous
forme d’un cylindre creux de rayon moyen r et de faible épaisseur Δr,
avec les notations usuelles (unités ISO) :
- Volume : v = π r Δr h
- Masse : m = ρ v
- Moment d’inertie : J = m r2 = ρ v r2
- Vitesse périphérique : vp = r ω
- Nombre de Mach en périphérie : M = vp/c
= r ω/c
- Energie cinétique : E = J ω2/2 = ρ r2 ω2
v/2
- Contrainte de traction tangentielle : σ = ρ r2 ω2
- En éliminant ρ r2 ω2 entre les 2 lignes
précédentes : E / v = 0,5 σ
- On note aussi que, en éliminant (ω r),
la vitesse périphérique peut s’écrire : vp
= (σ/ρ)1/2
Il s’en suit que l’énergie
cinétique stockée par unité de volume est égale à la contrainte, à
un coefficient k près appelé coefficient de forme, ici égal à 0,5.
Ce résultat, selon lequel l’énergie volumique ne dépend pas de la masse volumique, ni des
dimensions du cylindre, mais seulement de la contrainte maximum, peut apparaître surprenant. Ce paradoxe
s’explique par le fait qu’à contrainte égale, un cylindre léger pourra tourner
plus vite, et emmagasiner finalement la même énergie. L’intérêt des matériaux
légers n’est toutefois pas aussi élevé qu’on pourrait le penser, car ils sont
aussi généralement moins résistants…
Il en résulte aussi que la vitesse
périphérique ne dépend que du matériau caractérisé par sa résistance
pratique et par sa masse volumique, et est indépendante des dimensions du
cylindre. Ceci traduit le fait qu’un cylindre plus gros devra tourner (vitesse angulaire) plus
lentement.
On notera que dans un cylindre mince, les contraintes
sont uniquement tangentielles, les
contraintes radiales étant pratiquement nulles.
Pour un cylindre creux épais et isotrope (métal
par exemple)
La rotation rapide d’un cylindre creux épais crée
un champ de contraintes de symétrie axiale, donc uniquement fonction du rayon
courant r,
avec rm
≤ r ≤ rM , selon deux composantes radiales et
tangentielles σr et σt
.
On trouvera en annexe à la fin du message, le
calcul complet d’un cylindre dans le cas général, avec prise en compte du
coefficient de Poisson (qui caractérise la striction sous contrainte de
traction).
Le passage d’un cylindre mince à un cylindre épais
présente :
- Un inconvénient
en ceci que le rapport J/m (Moment d’inertie / Masse) est un peu moins favorable, car la matière
située loin de la périphérie a une vitesse linéaire plus faible et stocke donc
moins d’énergie cinétique.
- Un avantage
dans le champ de contrainte : les contraintes radiales aboutissent à
réduire les contraintes tangentielles de la périphérie en augmentant celles des
plus petits rayons, avec une répartition plus favorable du champ de contraintes
qui autorise ainsi une vitesse angulaire
légèrement supérieure. Ceci compense en partie l’inconvénient précédent.
Les graphiques ci-dessous donnent les contraintes radiales et
tangentielles
dans un cylindre en acier de un mètre de diamètre. En gris, les
contraintes tangentielles s’il n’y avait pas de contrainte radiale, par exemple
en raison d’une structure anisotrope telles qu’un enroulement d’une fibre
synthétique unidirectionnelle très peu élastique enrobée de résine beaucoup
plus élastique. On constate sans étonnement que quand rm se rapproche de
rM,
les contraintes radiales se réduisent, pendant que les contraintes tangentielles
deviennent prépondérantes et tendent vers la valeur limite de l’anneau mince.
Les graphiques correspondent respectivement à rm = 0,20 et rM
= 0,50
Ces éléments aboutissent à un coefficient
de forme k inférieur à 0,5 et à une vitesse
angulaire légèrement augmentée quand le ratio rm /rM
diminue, selon le graphique suivant :
Il existe un modèle de volant d'inertie en
forme de disque épais au centre et s’amincissant en fonction de la croissance
du rayon, dit « disque iso-contrainte », dont le coefficient de forme
est de 1. Mais son intérêt est surtout théorique, car il a quelques défauts :
- Son rayon est infini…, ce qui oblige à le limiter,
et ainsi, il n’est plus iso-contrainte !
- Son moyeu large entouré d’un disque mince est plus encombrant
qu’un cylindre
- Sa surface, élevée par rapport à son volume, est génératrice
de pertes aérodynamiques importantes qui interdisent l’usage hors d’une
enceinte vide d’air.
- Contrairement à un cylindre creux, sa motorisation ne
peut pas être placée à l’intérieur du disque.
Le cylindre épais se différentie du modèle du
cylindre mince par :
- Le coefficient de forme reliant l’énergie volumique
à la contrainte maximum est un peu inférieur à 0,5
- La vitesse linéaire périphérique est un peu
supérieure
- Mais, à une petite approximation près, les
principes surlignés en bleu et jaune demeurent valides.
Choix du matériau du volant
Le tableau ci-dessous donne six matériaux typiques,
dont trois métalliques et trois composites, classés par masse volumique
décroissante. En raison de leurs coûts, ceux
mentionnés en rouge sont a priori peu envisageables dans des applications de
stockage de masse.
La littérature donne souvent, selon les sources,
des valeurs très dispersés des contraintes maximum de travail effectif par
matériau. Les valeurs ci-dessous sont plutôt prudentes. Celles des composites
viennent du fabricant
Hexcel
et sont relatives à des pré-imprégnés unidirectionnels. Les énergies volumique
et massique sont basées sur un coefficient de forme
k = 0,5.
Matériaux
|
Masse volumique
|
Contrainte maxi réelle
|
Energie volumique
|
Energie massique
|
Vitesse périphérique
|
Kg/m3
|
MP
|
Kwh/m3
|
Kwh/tonne
|
Nbr de Mach
|
Acier
dur
|
7 800
|
700
|
97
|
12
|
0,9
|
Alliage
alumin. HR
|
2 800
|
400
|
56
|
20
|
1,1
|
Titane
|
4 400
|
600
|
83
|
19
|
1,1
|
Verre
Epoxy UD
|
2 000
|
400
|
56
|
28
|
1,3
|
Carbone
HR UD
|
1 500
|
800
|
111
|
74
|
2,1
|
Aramide
Epoxy UD
|
1 400
|
400
|
56
|
40
|
1,6
|
Une batterie de 10 à 20 volants de 1 m3
chacun est donc capable de stocker 1 Mwh, ce qui reste modeste à l’échelle d’un
réseau, mais envisageable. Ce stockage est peu volumineux. Pour la même
capacité, une STEP de 1 000 mètres de dénivellation (ce qui est déjà
beaucoup) doit stocker 360 m3, soit 18 à 36 fois plus. Mais la STEP
stocke de l’eau gratuite dans un lac en partie naturel, sans mécanique
sophistiquée…
Comme disent les américains : « Devil is in
the details »
Les principes simples des volants d’inertie s’accompagnent
de nombreuses contraintes de conception :
- Faire tourner à grande vitesse un volant d’inertie
soumis à des contraintes élevées, avec une marge de sécurité réduite, impose de
prendre en compte le risque d’éclatement
du volant. Pour cantonner ce risque à
des dégâts matériels limités à cette seule unité, il y a lieu de placer le
volant dans une enceinte de haute
résilience (comme en nucléaire !) capable d’absorber l’énergie cinétique
du volant, et de l’enterrer. Ci-dessous : crash d’un volant.
- Selon son matériau, la vitesse périphérique du
volant peut atteindre ou dépasser largement la vitesse du son dans l’air, ce qui engendre des turbulences
importantes, c’est à dire une dissipation d’énergie sous forme aérodynamique,
et finalement thermique, qui entraîne un ralentissement du volant. Pour éviter totalement
cette dissipation, la seule solution est de faire un vide assez poussé dans l’enceinte
de sécurité.
- Afin d’éviter les fuites, les frottements et
l’usure propres à des joints d’étanchéité, il sera souhaitable de placer dans
la même enceinte vide :
- Les paliers du volant
- Le moteur, ou au moins son rotor, l’étanchéité
pouvant être faite dans son entrefer, selon sa conception.
- Ces paliers
doivent supporter une charge lourde en rotation très rapide, et ce, avec une
longue durée de vie. On pourrait penser à un axe vertical, avec une butée
inférieure plate hydrodynamique, centrée par des roulements à billes ou à rouleaux.
Mais ces solutions sont à éliminer, car elles nécessitent une lubrification
incompatible avec le vide requis. Il faut recourir à des paliers magnétiques
actifs, complexes, coûteux et consommateurs d’énergie…
- La machine
électrique conditionne les puissances d’entrée et de sortie de l’unité,
ainsi que son rendement, ce qui est classique. Mais son rotor est placé dans le
vide. Il s’en suit qu’il ne pourra dissiper ses pertes thermiques que par
rayonnement, la convection étant nulle dans le vide, et la conduction
impossible en l’absence de contacts. Il y aura donc lieu d’utiliser une machine
de type synchrone, dans laquelle les champs magnétiques vus du rotor sont fixes
(pas de pertes fer), et à aimants permanents, ou avec un flux d’excitation issu
de l’extérieur via un entrefer supplémentaire (pas de pertes cuivre).
- L’électronique de commande, extérieure à
l’enceinte, devra être « réversible, 2 quadrants », c’est-à-dire un
seul sens de rotation, mais couple positif ou négatif, et ce à vitesse
variable, ce qui a un coût, mais ne pose pas de problème particulier.
- Citons un problème qui aurait pu se poser, mais qui
est en fait à peine perceptible : l’effet
gyroscope résultant de la rotation terrestre. En effet :
- Le calcul montre que pour une énergie cinétique de
100 Kwh, et dans le cas le plus défavorable (axe perpendiculaire à celui de la
terre), le couple de précession exercé sur les paliers n’excède pas 80 Nm, ce
qui est négligeable.
- On pourrait aussi installer les volants avec leur axe
parallèle à celui de la terre (soit inclinés
de 45° vers le nord sous nos latitudes) pour qu’il n’y ait pas de
précession, mais ce serait une contrainte supplémentaire inutile.
- Mais dans d’autres applications, telles les véhicules susceptibles de
rotations rapides selon chacun des 3 axes (tangage, roulis, lacet), ce problème
serait bien réel !
Conclusion
Les volants d’inertie constituent un moyen de stocker
l’énergie électrique avec des avantages certains:
- Excellent rendement d’entrée et de restitution.
- Pas de contrainte géographique, contrairement aux STEPs.
- Capacité inégalable à entrer en service
instantanément.
- Très faible dissipation d’énergie dans une enceinte
vide d’air, donc très bon rendement de stockage.
- Energie volumique et massique compétitive.
- Puissance massique très compétitive.
- Longue durée de vie.
Ils ont aussi quelques inconvénients :
- Les complications liées à leur fonctionnement dans
une enceinte blindée et vide d’air, entraînent des technologies sophistiquées.
- Prix très élevé résultant de ces technologies, et
encore plus si l’on recourt à des matériaux légers et résistants tels que fibre
de carbone HR ou titane permettant d’améliorer leurs performances.
- Peu adaptés à un stockage de masse.
Pratiquement, on trouve actuellement ce type de
stockage dans deux types d’applications :
- Des groupes
électrogènes de secours instantanés, plus performants que des batteries
d’accumulateurs électriques, capables de se substituer instantanément à un
réseau défaillant pour des utilisations sensibles. Ci-dessous, une baie Socomec
de 200 Kw, mais seulement 1 Kwh, soit une autonomie de 18 secondes, en
transition vers des batteries ou un groupe électrogène thermique.
- Des batteries de volants liées au réseau pour compenser les fluctuations rapides de la
consommation afin d’améliorer la qualité de ce réseau en tension et en
fréquence, avec un objet similaire à celui du volant d’inertie d’un moteur
thermique. Ci-dessous batterie de 200 volants de 100 kw, soit 20 Mw installée
près de New-York par Beacon Power. La capacité n’est pas donnée, probablement assez
courte pour ce type d’application.
Prospective
Au vu de ce qui précède, et dans l’hypothèse où,
dans un futur lointain, un stockage, même à prix élevé, était rendu
indispensable par un développement important des énergies renouvelables fatales
au détriment du thermique et du nucléaire, il y aurait peut-être une solution à
un stockage de masse en faisant appel aux techniques suivantes :
- Volants d’inertie en acier dur, lourds, d’inertie très
élevée, montés sur des butées et
roulements à rouleaux (poids) et à billes (centrage axial) conventionnels,
- Enceinte en légère surpression par rapport à l'atmosphère, remplie d’hydrogène
ou de l’hélium, gaz légers réduisant les pertes aérodynamiques qui sont proportionnelles à la masse volumique. Les
étanchéités sont ainsi simplifiées, les pertes sont réduites, la machine électrique
peut être dans ou en dehors de l’enceinte. L'hydrogène (H2=2) présente la meilleure diffusivité thermique, donc le meilleur refroidissement de la machine électrique si elle est dans l'enceinte. Il est couramment utilisée dans les gros alternateurs de réseaux. L'hélium (He=4) est monoatomique, d'où l'avantage d'un "gamma"(=Cp/Cv) plus élevé, d'où un célérité du son plus élevée de 9%. Le choix reste à faire...
- Effet
d’échelle : la capacité énergétique est proportionnelle au volume,
alors que les pertes aérodynamiques (à vitesse linéaire constante, ce qui est
le cas), ne sont proportionnelles qu’à la surface, c’est-à-dire à la puissance
2/3 du volume : un doublement des dimensions réduit le taux de pertes de 20%.
Mais seule une étude beaucoup plus poussée que le
présent message permettrait de valider ces idées de l’auteur et de conclure.
Annexe : Calcul d’un volant d’inertie en forme de
cylindre creux épais (cas général) :
|
Paramètre
|
Symbole
/ Formule
|
Unité
|
Dimension
|
ISO
|
Géométrie
|
Rayon maximum
|
rM
|
m
|
L
|
0,50
|
Rayons courants
|
r9
|
|
|
0,47
|
r8
|
|
|
0,44
|
r7
|
|
|
0,41
|
r6
|
|
|
0,38
|
r5
|
|
|
0,35
|
r4
|
|
|
0,32
|
r3
|
|
|
0,29
|
r2
|
|
|
0,26
|
r1
|
|
|
0,23
|
Rayon minimum
|
rm
|
m
|
L
|
0,20
|
Hauteur
|
h
|
m
|
L
|
1,00
|
Volume
|
v =
π (rM²- rm²) h
|
m3
|
L3
|
0,660
|
Matériau
|
Masse volumique
|
ρ
|
kg/m3
|
M
L-3
|
7
800
|
Résistance pratique
|
σM
|
Mp
|
M
L-1 T-2
|
700
|
Coefficient de Poisson
|
ν
|
Nombre
|
1
|
0,33
|
Dynamique
|
Masse
|
m
= ρ v
|
kg
|
M
|
5
145,9
|
Moment d'inertie
|
J
= ρ v (rM2
+ rm2)/2
|
kg
m2
|
M
L2
|
746,2
|
Vitesse angulaire
|
ω
|
rad/sec
|
T-1
|
646,4
|
|
|
t/min
|
|
6
172,7
|
Energie cinétique
|
E
= J ω2/2 = ρ v (rM2 + rm2)/4
|
Mj
|
M L2
T-2
|
155,9
|
|
|
Kwh
|
|
43,3
|
Contraintes
|
Contrainte radiale maxi
|
σr
= - ρω2(3+ν)(r2-rM2) (r2-rm2)
/(8 r2)
|
Mp
|
M
L-1 T-2
|
122,0
|
Contrainte tangentielle maxi
|
σt
= ρr2ω2[(3+ν)[rM2 rm2/r4
+ (rM2 + rm2)/r2]-
(1+3ν)]/8
|
Mp
|
M
L-1 T-2
|
700,1
|
Contrainte résultante maxi
|
σM
= (σr2 + σt2)1/2
|
Mp
|
M
L-1 T-3
|
700,1
|
Coefficient de forme
|
k = E / v σM
|
Nombre
|
1
|
0,337
|
Aérodyn.
|
Vitesse périphérique
|
vp
= rM ω
|
m/sec
|
L
T-1
|
323,2
|
Célérité du son à 20°C
|
c
|
m/sec
|
LT-1
|
343,1
|
Nombre de Mach
|
M
|
Nombre
|
1
|
0,94
|
Gyro.
|
Vitesse de précession
|
Ωp
|
rad/sec
|
T-1
|
7,3E-05
|
Couple sur le gyroscope
|
τ
= J Ωp ^ ω
|
N^m
|
M
L2 T-2
|
35,1
|
