Résumé
Une compression isotherme, c’est-à-dire à température
constante, suivie d’une détente isotherme, apporte un bon rendement, mais n’est
qu’un modèle théorique, car la compression et la détente rapides de l’air sont
naturellement adiabatiques, c’est à dire sans transfert thermique.
Un cycle dit « adiabatique » comporte
inévitablement, après compression, un refroidissement au cours du stockage,
puis, après détente, un réchauffement par mélange dans l’air ambiant. Son
rendement théorique (= énergie mécanique restituée / absorbée pour une
machines parfaite) est catastrophique pour des rapports volumétriques élevés (11% à k=700, ou 18% pour k = 100),
médiocre pour des rapports faibles (44% pour k= 3), avec un limite théorique à
55% pour des rapports proches de 1.
Il n’est donc pas envisageable d’utiliser des compresseurs
directs pour un stockage énergétique nécessitant une pression élevée. Mais
l’utilisation de plusieurs étages de compression avec refroidisseurs
intermédiaires, et de plusieurs étages turbines consécutives avec réchauffeurs
intermédiaires permet d’améliorer les rendements. C’est l’objet du message
suivant.
C’est une
évidence : L’air est gratuit, et disponible en quantité illimitée, il ne pollue pas, et rien
n’empêche de stocker de l’énergie électrique excédentaire :
- en la faisant absorber par des compresseurs
comprimant l’air ambiant à une pression élevée,
- puis en stockant l’air ainsi comprimé dans des
réservoirs naturels ou construits à
cet effet,
- et enfin en utilisant
cet air comprimé pour alimenter des turbines couplées à des alternateurs restituant l’énergie pendant les pointes
de consommation.
Mais, comme toute
solution, celle-ci doit être évaluée en termes de rendement et de coût. Le présent message porte sur la
modélisation de la compression et de la détente, et sur leur rendement.
Adiabatique ou isotherme ?
Soyons concrets…
Ces adjectifs
ésotériques désignent deux modalités différentes de compression ou de détente des gaz. Supposons qu’une force extérieure, agissant par l’intermédiaire d’un
piston coulissant dans un cylindre (ou
par toute autre méthode) soit utilisée pour comprimer une masse d’air donnée.
La physique nous enseigne que le travail de cette force extérieure se traduit
nécessairement par une élévation de température du gaz comprimé. Dès lors, en sus de toutes les situations intermédiaires, deux
cas extrêmes sont possibles :
- Si la compression
est très lente, l’enceinte petite, et ses parois conductrices, cet apport thermique
pourra être évacué au fur et à mesure de la compression ; la température
n’augmentera donc pratiquement pas, et cette compression est alors qualifiée « d’isotherme »,
c’est-à-dire à température constante.
- Si la compression
est rapide, ou si les parois de l’enceinte de grand volume sont peu
conductrices, l’échauffement de
l’air en cours de compression a pour effet d’augmenter sa pression, et donc de
rendre la compression plus difficile : elle nécessitera plus d’énergie.
Elle est dite « adiabatique »,
c’est-à-dire sans transfert de chaleur à travers les parois.
- S’il s’agit d’une
détente adiabatique, le phénomène est exactement le même, au signe près :
le gaz se refroidit, sa pression baisse, et sa détente produit moins d’énergie
mécanique.
Les exemples de
compressions adiabatiques sont très nombreux :
- La compression de
l’air dans le cylindre d’un moteur diesel avec un rapport volumétrique autour
de 20 aboutit à une température suffisamment élevée pour provoquer l’inflammation
spontanée du gazole qui lui est mélangé. C’est l’autoallumage, qui était aussi autrefois un défaut apparaissant parfois sur les moteurs à essence, alors qualifié de cliquetis.
- En cours d’utilisation,
une pompe à vélo chauffe, surtout en bas, là où la pression est la plus élevée.
- Le compresseur d’un
groupe d’air comprimé d’atelier, malgré son refroidissement par les ailettes du
ou des cylindres, est brûlant pendant son fonctionnement bien que l’air aspiré
soit à la température ambiante.
Tous les cas intermédiaires entre l’isotherme et
l’adiabatique sont évidemment possibles.
Toutefois, quand des puissances
importantes sont en jeu, ce qui est le cas pour du stockage d’énergie de
réseau, les flux thermiques permettant le refroidissement sont faibles et lents
par rapport aux puissances en jeu : le fonctionnement du compresseur sera
inévitablement très proche de l’adiabatique.
En matière de
stockage d’énergie par l’air comprimé, cet échauffement à la compression, suivi
d’un refroidissement à la détente est un grave inconvénient, car il n’est pas
envisageable de stocker, pendant une demi-journée ou beaucoup plus, de l’air comprimé
chaud dans un réservoir sans qu’il ne se refroidisse.
Des diagrammes où l’on
voit les différences
Notations et unités :
Nous utiliserons ci-dessous des variables
« réduites » c’est-à-dire sans dimension, basées sur les unités
suivantes:
- L’unité de pression est P0, de préférence la
pression atmosphérique (≈100 Kp).
- L’unité de volume est V0, le volume d’air objet du diagramme, par
exemple 1 m3.
- L’unité de température est T0, de
préférence la température ambiante,
293,2 °K = 20°C par exemple
- L’unité d’énergie est P0 V0 .
Ainsi, dans le diagramme Pression vs. Volume ci-dessous, 20 petits carreaux = 2
grands carreaux = P0 V0 = 100 Kj.
- γ = Cp/Cv,
rapport des
chaleurs spécifiques des gaz parfaits, soit 1,402 pour l’air
- k est le rapport volumétrique
de compression
Toutes les formules ci-dessous expriment des relations
entre des paramètres sans dimension
qui sont :
K, γ, P/P0,
V = V/V0, T/T0, E/(P0 V0)
Le diagramme
Pression vs. Volume ci-dessous, dit de « Clapeyron », qui met en jeu une compression et une détente dans des machines idéales de
rendement 100%, porte sur une quantité déterminée de l’air à 293,2°K (20°C) comprimé, puis détendu selon un rapport
volumétrique k, (ici k =27), et ce
dans deux cas, adiabatique ou isotherme.
Par convention, nous appellerons ci-dessous « cycle adiabatique » un cycle composé
d’une compression et d’une détente adiabatiques, sans oublier que dans ce
cycle, le refroidissement après compression et le réchauffement après détente,
sont inévitables, mais ne sont pas adiabatiques.
Son allure générale
rappelle celle, archi-connue, d’un cycle de moteur à combustion interne, mais cette
analogie est très limitée :
- Le cycle d’un moteur
est parcouru dans le sens des aiguilles d’une montre, car son aire est
proportionnelle à l’énergie mécanique produite, alors que le cycle adiabatique
est parcouru dans le sens inverse, car son aire est
proportionnelle à l’énergie mécanique transformée en chaleur, et donc non
restituée.
- Le haut d’un cycle
moteur est une verticale (augmentation de pression à volume constant, due à
l’élévation de température résultant de la combustion du carburant), alors que
le haut du cycle adiabatique comporte une horizontale (baisse de volume par
refroidissement inévitable, à pression constante)
- La détente d’un
moteur thermique se produit 5 à 20 millisecondes après la compression, alors
qu’en stockage, plusieurs heures les sépareront.
- La détente et la
compression d’un moteur thermique ont lieu dans la même machine, alors qu’en
stockage, elles sont séparées par ce stockage, et réalisées par deux machines
dédiées qui ne fonctionneront pas en même temps.
Isotherme, en bleu
0 à Compression
isotherme à P à Détente isotherme à 0
- La courbe 0P ou P0 est la même quel que
soit le sens de parcours.
- L’aire contenue dans le cycle 0P0 est nulle : pas de pertes.
- La surface du triangle curviligne 0PH, sous la courbe bleue c’est à dire l’aire verte + la partie inférieure de l’aire jaune,
est à la fois :
- l’énergie absorbée par la compression,
- l’énergie restituée par la détente,
- l’énergie en stock.
Le rendement théorique est donc de 100%.
Adiabatique, en rouge
0 à Compression adiabatique à C à Refroidissement à
pression constante à P
P à Détente adiabatique à D à Réchauffement à pression
constante à 0
- L’aire jaune
supérieure comprise entre la
courbe de compression adiabatique
0C et l’isotherme
0P est la perte par
compression ; c’est l’énergie mécanique absorbée par la compression et non
mise en stock, car dissipée en chaleur.
- L’aire jaune
inférieure comprise entre l’isotherme et la courbe de détente adiabatique BD0 est la perte par détente ; c’est l’énergie tirée du
stock et non restituée sous forme mécanique, car dissipée ne chaleur.
- L’aire verte
comprises entre la courbes de détente PD et l’horizontale HD (ordonnée
P/P0 =1), est l’énergie restituée par la détente.
- L’aire jaune
totale située à l’intérieur du polygone curviligne 0CPD0 est l’énergie
perdue par le cycle adiabatique après refroidissement CP et réchauffement D0.
Dans l’exemple proposé (facteur k=27) on voit que le
total des aires jaunes est environ trois fois supérieur à l’aire verte, ce qui
rend visible un rendement théorique de l’ordre de 26%.
Dans le diagramme
Température vs. Volume ci-dessous, qui utilise les mêmes abscisses en
volume réduit que le précédent, la température isotherme est constante par
définition.
En adiabatique, la compression 0C provoque un échauffement important (751
°K = 458 °C) en raison duquel l’augmentation de
pression atteint le facteur 27 bien avant que le volume soit réduit du
même facteur 27. Mais le refroidissement CP permet de retrouver le point P de
l’isotherme, et donc le ratio 27 sur le volume. Inversement, la détente PD refroidit
l’air (114 °K = -179 °C), ce qui réduit la pression dans un facteur 27
bien avant d’avoir retrouvé le volume initial, mais le réchauffement D0 lui fait retrouver
la température initiale et le volume initial.
Quantifions les énergies
Isotherme
Ce cas est simple. L’énergie en stock ES, ou
l’aire comprise sous l’isotherme
bleue après
compression, exprimée en unité réduites (E/P0V0), est théoriquement égale à l’énergie mécanique
absorbée par le compresseur, et à l’énergie restituée par la turbine. Il n’y a
pas de théoriquement pas de pertes, les rendements étant en conséquence de
100%.
Dans la formule ci-dessous :
- Le 1er
terme est la primitive de P=1/V
- Le 2ème terme est le travail de la pression
atmosphérique sur la variation de volume.
ES = Log(k) – (1+1/k)
Pour k=27 : Es
= 2,33
Remarquons au
passage que, pour une masse d’air donnée, l’énergie en stock n’est pas
proportionnelle à la pression, amis seulement au logarithme du rapport des
pressions, à la pression atmosphérique près, souvent négligeable. Mais ne
perdons pas de vue non plus que pour un volume de stockage donné (réservoir par
exemple), la masse est proportionnelle à la pression.
Malheureusement, ce
modèle est impossible. Tout au plus pourra-t-on tenter de s’en rapprocher, comme
nous le verrons dans le message suivant: compresseurs et tirbines à étages
Adiabatique
Ce cas est
compliqué. L’auteur reconnaît y avoir passé beaucoup plus de temps que
prévu !
Les deux tableaux
ci-dessous résument les variations de V, P, T et les transferts d’énergie au
cours d’un cycle adiabatique fermé 0CPD0. Celui du haut donne les valeurs
littérales, et celui du bas les valeurs numériques pour K = 27.
Il appelle les remarques
suivantes, de portée générale, mais les valeurs numériques (en valeur réduite)
sont valides uniquement pour k = 27 :
- L’énergie mécanique absorbée par le compresseur est de 4,522
- L’énergie restituée par la turbine est de 1,169 en valeur absolue
- Donc le rendement est de 1,169 /4,522 = 25,9%, déjà cité plus haut, très
médiocre
- La chaleur évacuée pour le refroidissement
à pression constante CP est de -5,484, c’est-à-dire 470 % de l’énergie
restituée : les transferts d’énergie thermique sont largement supérieurs
aux transferts d’énergie mécanique.
- La chaleur reçue pour le réchauffement à
pression constante est de 2,132, supérieure à l’énergie mécanique restituée.
- Les chaleurs
évacuées et reçues ne se compensent pas, car elles ne sont pas simultanées, mais
elles elles peuvent être transférées par le même échangeur.
- Les sommes des
lignes sont conformes à la réalité physique :
- L’énergie mécanique absorbée étant largement
supérieure à l’énergie restituée fournie, la somme est positive (3,352).
- Le travail de la pression atmosphère considéré comme
une force extérieur est évidemment nul
pour le cycle fermé.
- L’énergie thermique de refroidissement après
étant largement supérieure à l’énergie de réchauffement après détente, la somme
est négative (-3 ,352).
- Le cycle étant
fermé, la somme algébrique des transferts
d’énergie (énergie mécanique ou calorifique) est nulle (3,352 – 3,352 = 0).
Les formules ci-dessus permettent aisément de
construire le graphe du rendement η en fonction du rapport volumétrique k. Les graphes ci-dessous sont identiques sauf pour les
abscisses, dont l’une est logarithmique.
On y constate
immédiatement qu’un cycle adiabatique direct, sans refroidissement
intermédiaire, conduit, pour des pressions élevées, à un rendement théorique
catastrophique, par exemple 11% pour k = 700 (de 1 bar à 700 bars) et
18% pour k = 100. Il faut redescendre à des ratios k de l’ordre de 3 à 5 pour
obtenir un rendement qui reste médiocre de 63% à 72%.
Notons aussi que ce
rendement a une limite maximum théorique de 1/(2γ-1) = 55% quand k tend vers 1
(compression très faible).
On peut en déduire
immédiatement que le stockage d’énergie par compression adiabatique directe, stockage, puis détente directe n’est pas viable pour
cause de rendement catastrophique.
Il est nécessaire de
se rapprocher de l’isotherme, à défaut de pouvoir l’atteindre, en procédant à
plusieurs compressions successives,
chacune étant suivie d’un refroidissement, et, après stockage, à plusieurs
détentes successives, chacune étant suivie d’un réchauffement. Ces compresseurs
et turbines à étage sont l’objet de notre message suivant : Compresseurs et turbines à étages
