dimanche 2 février 2014

Problématique du stockage de l'énergie électrique


Consommation et production électriques

La consommation électrique varie constamment selon :
  • la température (chauffage ou climatisation),
  • la luminosité naturelle (éclairage),
  • l’activité professionnelle humaine (consommation agricole, industrielle ou tertiaire),
  • l’activité domestique (électroménager, numérique).
Les variations sont de période annuelle (climat, vacances), hebdomadaires, quotidiennes, ou aléatoires, et pas totalement prévisibles. Les crêtes résultent d’une conjonction de facteurs de consommation élevée, survenant avant le lever ou après le coucher du soleil, un jour ouvrable très froid. Elles sont relativement brèves, de l’ordre de 1 à 4 heures, mais conditionnent (à l’importation près) la puissance nécessaire des moyens de production installés, fussent-ils le plus souvent inutilisés. La puissance consommée en France  varie ainsi de 30 Gw à plus de 100 Gw. Les variations peuvent être relativement rapides au cours d’une même journée.

La disponibilité de la production varie du tout au tout selon les filières de production. Par ordre de disponibilité décroissante :
  • Les centrales thermiques, même utilisées un faible pourcentage du temps, sont néanmoins capables de produire leur puissance nominale en continu, et présentent peu d’inertie, notamment les centrales à gaz capables de monter en puissance en quelques minutes.
  • Les réacteurs nucléaires PWR sont capables de produire à leur puissance nominale de façon continue, sauf arrêts de maintenance, et de moduler leur puissance au cours de la journée au prix d'une baisse de rendement du combustible, mais leur forte inertie ne leur permet pas de suivre les  variations les plus rapides de la  puissance consommée.
  • Les centrales hydrauliques sont de disponibilité très variable, entre l’optimum de la centrale de haute chute avec lac disponible à tout moment pour une durée limitée, à la centrale au fil de l’eau ou marémotrice, dont l’énergie est « fatale » (= on ne maîtrise pas sa production).
  • Les nouvelles énergies vertes (éolien et photovoltaïque) sont totalement fatales et ne produisent en moyenne que 15% (photovoltaïque) à 25% (éolien offshore) de leur puissance nominale. En outre elles ne sont pas totalement prévisibles (vent, nébulosité).
Equilibrage du réseau

L’opérateur de réseau doit utiliser les sources disponibles pour satisfaire exactement la consommation à chaque instant. Par surcroît, il doit le faire en respectant la réglementation qui prévoit l’écoulement prioritaire des productions éoliennes et photovoltaïques, et en recherchant l’optimum économique et écologique, c’est à dire le moins possible de thermique, coûteux et émetteur de CO2 et de polluants atmosphériques.

Rappelons que le réseau français est interconnecté, et qu’en conséquence il n’y a pas de lien direct entre le lieu de production et le consommateur. Pour autant, contrairement à une idée courante, le transport de l’énergie électrique est coûteux (pertes en ligne) et limité (capacité de lignes).

Pratiquement, l’opérateur :
  • utilise constamment la production verte à tarif administré, ainsi que l’énergie hydraulique au fil de l’eau (non modulable), quand elles existent, car ces énergies fatales sont en France loin de satisfaire même la demande la plus basse qui se situe vers 30 GW,
  • répond au plus gros de la demande par la production électronucléaire, en mettant en service le nombre de réacteurs voulu,
  • complète ensuite la puissance (pour pallier aux variations erratiques de la demande et des productions fatales) par la production hydraulique, qui a très peu d’inertie et est facilement modulable, dans les régions pas trop éloignées des reliefs où sont les centrales,
  • ne recourt au thermique que dans les régions où il n’y a pas d’autre choix (Bretagne, PACA) ou pendant les pointes de consommation, où tous les moyens disponibles sont mobilisés
  • exporte et recourt au pompage quand la consommation est faible, et importe pendant les crêtes (75 Gw).

Le diagramme ci-dessus résulte de ce qui précède. Il donne l’origine de la production selon la puissance totale consommée, et l’occurrence de cette dernière. Ainsi, pendant 4 600 heures par an (en abscisses), la puissance consommée (en ordonnées) est supérieure ou égale à 60 Gw. Cette dernière est équilibrée par l'adition 45 Gw de nucléaire, 54 – 45 = 9 Gw d’hydraulique, et 60 – 45 - 9 = 6 Gw de thermique. EDF ne publiant pas ce niveau de détails, il s’agit d’ordres de grandeur interpolés par l’auteur et cohérents avec les chiffres 2010 publiés (occurrence vs. puissance, production moyenne et maximum par filière, importations, exportations…). La courbe (ocre) de consommation du chauffage électrique y figure, avec un maximum de 30 Gw qui contribue largement à l’amplitude de variation, propre à la France. A titre indicatif, le chauffage thermique (courbe bleu ciel) culmine à 50 Gw.


Intérêt du stockage

Il ressort de ce qui précède que :
  • La capacité de production nucléaire, dont le coût marginal est extrêmement bas, n’est pas utilisée à son maximum. Une capacité de stockage permettrait de produire plus d’énergie avec les mêmes investissements, au moindre coût (sous réserve du prix et du rendement du stockage) et sans émissions atmosphériques.
  • Si l’on continue à développer les nouvelles énergies renouvelables fatales, il arrivera que leur production excède la consommation à son étiage. Sauf à la revendre à un prix négatif (c’est arrivé un dimanche matin de l’été 2013 en Allemagne), il sera nécessaire de la stocker.
  • La présence d’énergie électrique en stock permettrait de réduire, et à la limite de supprimer, le recours aux filières thermiques dont les combustibles fossiles verront leur prix augmenter fortement avec leur raréfaction.
  • Si, selon la thèse politique écologiste, on renonce à la fois au nucléaire et au thermique, le stockage des énergies fatales devient le problème critique, et ce, à une échelle gigantesque.
Rendement et coût du stockage

Nous nous plaçons ici dans le cas d’un vrai stockage partant de l’énergie électrique et y retournant. Une installation de stockage est dimensionnée par :
  • Une capacité de stockage en mégajoules ou kilowattheures (1 Mj = 3,6 Kwh)
  • Une puissance d’entrée, dont dépend le temps d’entrée = capacité / puissance d’entrée
  • Une puissance de restitution, en kilowatts, pas nécessairement identiqueà la précédente, dont dépend le temps de restitution = capacité résiduelle après dissipation / puissance de restitution.

 Le stockage nécessite :
  • Une entrée en stock correspondant à une transformation dont le rendement est  ηe
  • Un stockage dans le temps qui peut s’accompagner ou non, selon le procédé, d’une dissipation de l’énergie en stock (électrique, mécanique, chimique ou thermique) plus ou moins rapide, aboutissant à un rendement ηs qui dépend du temps de stockage.
  • Une restitution qui nécessite une nouvelle transformation dont le rendement est ηr
Ces opérations ont aussi des coûts,
  • d’amortissement des installations, d’autant plus élevés que le taux d’utilisation sera faible, et que la durée de vie sera courte,
  • et d’exploitation, comme pour toute installation, notamment de maintenance,
  • que l’on peut considérer globalement.
Il s’en suit un calcul simple du prix du Mwh restitué, somme de deux termes :
  • Prix « énergie » du Mwh restitué  = Prix du Mwh entré / ( ηe ηs ηr)
  • Prix du stockage par Mwh restitué = Coût du traitement + Amortissement
Ce résultat est loin d’être neutre, car il vient toujours augmenter fortement le prix de l’énergie restituée. Par exemple, ordres de grandeur pour 1 Mwh :
  • Pour un stockage simple (genre STEP) de l’énergie nucléaire existante : 
    • 30 € / [(pompage = 90%) x (pas de dissipation = 100%) x (turbinage = 90%)] + 50 € = 87 €, qui peut être actuellement compétitif par rapport à du thermique, et est vendable en pointe.
  • Pour un stockage complexe (genre hydrogène) de l’énergie éolienne :
    • 200 € / [(électrolyse = 60%) x (pas de dissipation = 100%) x (Pile à combustible = 50%)] + 300 € = 967 €, qui n’a aucune chance d’être compétitif à un horizon prévisible.
Il va de soi que le stockage n’a d’intérêt que si le coût de l’énergie restituée (qui dépend du coût de l’énergie d’entrée) reste inférieur à celui d’autres moyens de production directe également pénalisés par leur taux d’utilisation bas.

Filières de stockage


Chacune de ces filières fait  ou fera l’objet d’un message dédié, accessible par l'un des liens ci-dessous:

Conclusion

Seules les STEPS actuellement envisageables dans le cas général, parfois les volants d’inertie dans certains cas très particuliers.

La réduction des crêtes est plus efficace et plus écologique que le stockage, avec 3 solutions principales :
  • L’efficacité énergétique (rendement des appareils, pompes à chaleur, isolation thermique)
  • Le chauffage biénergie recourant au thermique pendant la seule durée des pointes
  • Une tarification en « yield management » basée sur les coûts réels de production et pénalisant ainsi la consommation pendant les crêtes.
Table des matières du blog www.8-e.fr


samedi 1 février 2014

Volants d'inertie


 Table des matières du blog www.8-e.fr

Historique

Ils constituent une forme très ancienne et très répandue de stockage de l’énergie. Ils ont  été utilisés sur les tours de potiers depuis l’antiquité, et chaque moteur thermique en comporte au moins un :




Ils ont pour objet de stocker l’énergie mécanique sous forme d’énergie cinétique en rotation quand ils accélèrent, et de restituer cette énergie quand ils ralentissent. Dans la plupart des applications, et notamment pour les moteurs thermiques, leur objet est de régulariser cette rotation malgré les variations périodiques ou aléatoires du couple moteur et/ou du couple résistant. Les transferts d’énergie sont très fréquents et de faible amplitude : ainsi, pour un moteur 4 cylindres 4 temps, soit 2 explosions par tour, tournant à 3 000 t/min, la période de charge / décharge du volant est de 10 millisecondes. Le « stockage » est donc très bref.

Il est aussi utilisé à grande échelle dans les jouets, pour deux applications principales : les petites voitures appelées à tort « à friction », et les toupies. Ces dernières existent aussi sous une forme plus élaborée, dite gyroscope, aux propriétés déconcertantes, quoique parfaitement modélisées par la Mécanique rationnelle, parfois utiles (guidage inertiel), parfois indésirables (couple de précession, dite « effet gyroscope ») :






Principe de fonctionnement d’une unité de stockage

Le volant d’inertie comporte sur son axe une machine électrique réversible.
  • Pendant l’entrée en stock, la machine fonctionne en moteur : elle consomme l’énergie électrique du réseau et la transforme en énergie cinétique par accélération du volant jusqu’à sa vitesse maximum.
  • En stockage, la machine n’exerce aucun couple. Le volant tourne à vitesse constante, aux dissipations près.
  • Pour la restitution, la machine fonctionne en génératrice qui ralentit le volant et transforme son énergie cinétique en énergie électrique restituée au réseau.

La puissance d’entrée, souvent, mais pas nécessairement, égale à la puissance de restitution, est celle de la machine électrique avec son électronique de commande à vitesse variable. Les rendements sont très bons.

Théorie des volants d’inertie

Cylindre creux mince (r >> Δr)

Il est facile (formules établies par l’auteur) de modéliser un volant d’inertie réalisé sous forme d’un cylindre creux de rayon moyen r et de faible épaisseur Δr, avec les notations usuelles (unités ISO) :
  • Volume : v = π r Δr h
  • Masse : m = ρ v
  • Moment d’inertie : J = m r2 = ρ v r2
  • Vitesse périphérique : vp = r ω
  • Nombre de Mach en périphérie : M  = vp/c = r ω/c
  • Energie cinétique : E = J ω2/2 = ρ r2 ω2 v/2  
  • Contrainte de traction tangentielle : σ = ρ r2 ω2
  • En éliminant ρ r2 ωentre les 2 lignes précédentes : E / v  = 0,5 σ
  • On note aussi que, en éliminant (ω r), la vitesse périphérique peut s’écrire : vp = (σ/ρ)1/2 

Il s’en suit que l’énergie cinétique stockée par unité de volume est égale à la contrainte, à un coefficient k près appelé coefficient de forme, ici égal à 0,5. Ce résultat, selon lequel l’énergie volumique ne dépend pas de la masse volumique, ni des dimensions du cylindre, mais seulement de la contrainte maximum, peut apparaître surprenant. Ce paradoxe s’explique par le fait qu’à contrainte égale, un cylindre léger pourra tourner plus vite, et emmagasiner finalement la même énergie. L’intérêt des matériaux légers n’est toutefois pas aussi élevé qu’on pourrait le penser, car ils sont aussi généralement moins résistants…

Il en résulte aussi que la vitesse périphérique ne dépend que du matériau caractérisé par sa résistance pratique et par sa masse volumique, et est indépendante des dimensions du cylindre. Ceci traduit le fait qu’un cylindre plus gros devra tourner (vitesse angulaire) plus lentement.

On notera que dans un cylindre mince, les contraintes sont uniquement tangentielles, les contraintes radiales étant pratiquement nulles.

Pour un cylindre creux épais et isotrope (métal par exemple)

La rotation rapide d’un cylindre creux épais crée un champ de contraintes de symétrie axiale, donc uniquement fonction du rayon courant r, avec rm ≤ r ≤ rM , selon deux composantes radiales et tangentielles σr et  σt .
On trouvera en annexe à la fin du message, le calcul complet d’un cylindre dans le cas général, avec prise en compte du coefficient de Poisson (qui caractérise la striction sous contrainte de traction).
Le passage d’un cylindre mince à un cylindre épais présente :
  • Un inconvénient en ceci que le rapport J/m (Moment d’inertie / Masse) est un peu moins favorable, car la matière située loin de la périphérie a une vitesse linéaire plus faible et stocke donc moins d’énergie cinétique.
  • Un avantage dans le champ de contrainte : les contraintes radiales aboutissent à réduire les contraintes tangentielles de la périphérie en augmentant celles des plus petits rayons, avec une répartition plus favorable du champ de contraintes qui autorise ainsi une vitesse angulaire légèrement supérieure. Ceci compense en partie l’inconvénient précédent.


Les graphiques ci-dessous donnent les contraintes radiales et tangentielles dans un cylindre en acier de un mètre de diamètre. En gris, les contraintes tangentielles s’il n’y avait pas de contrainte radiale, par exemple en raison d’une structure anisotrope telles qu’un enroulement d’une fibre synthétique unidirectionnelle très peu élastique enrobée de résine beaucoup plus élastique. On constate sans étonnement que quand rm se rapproche de rM, les contraintes radiales se réduisent, pendant que les contraintes tangentielles deviennent prépondérantes et tendent vers la valeur limite de l’anneau mince. Les graphiques correspondent respectivement à rm = 0,20 et rM = 0,50




Ces éléments aboutissent à un coefficient de forme k inférieur à 0,5 et à une vitesse angulaire légèrement augmentée quand le ratio rm /rM diminue, selon le graphique suivant :



Il existe un modèle de volant d'inertie en forme de disque épais au centre et s’amincissant en fonction de la croissance du rayon, dit « disque iso-contrainte », dont le coefficient de forme est de 1. Mais son intérêt est surtout théorique, car il a quelques  défauts :
  • Son rayon est infini…, ce qui oblige à le limiter, et ainsi, il n’est plus iso-contrainte !
  • Son moyeu large entouré d’un disque mince est plus encombrant qu’un cylindre
  • Sa surface, élevée par rapport à son volume, est génératrice de pertes aérodynamiques importantes qui interdisent l’usage hors d’une enceinte vide d’air.
  • Contrairement à un cylindre creux, sa motorisation ne peut pas être placée à l’intérieur du disque.
Le cylindre épais se différentie du modèle du cylindre mince par :
  • Le coefficient de forme reliant l’énergie volumique à la contrainte maximum est un peu inférieur à 0,5
  • La vitesse linéaire périphérique est un peu supérieure
  • Mais, à une petite approximation près, les principes surlignés en bleu et jaune demeurent valides.

 Choix du matériau du volant

Le tableau ci-dessous donne six matériaux typiques, dont trois métalliques et trois composites, classés par masse volumique décroissante. En raison de leurs coûts, ceux mentionnés en rouge sont a priori peu envisageables dans des applications de stockage de masse.
La littérature donne souvent, selon les sources, des valeurs très dispersés des contraintes maximum de travail effectif par matériau. Les valeurs ci-dessous sont plutôt prudentes. Celles des composites viennent du fabricant Hexcel et sont relatives à des pré-imprégnés unidirectionnels. Les énergies volumique et massique sont basées sur un coefficient de forme k = 0,5.

Matériaux
Masse volumique
Contrainte maxi réelle
Energie volumique
Energie massique
Vitesse périphérique
Kg/m3
MP
Kwh/m3
Kwh/tonne
Nbr de Mach
Acier dur
7 800
700
97
12
0,9
Alliage alumin. HR
2 800
400
56
20
1,1
Titane
4 400
600
83
19
1,1
Verre Epoxy UD
2 000
400
56
28
1,3
Carbone HR UD
1 500
800
111
74
2,1
Aramide Epoxy UD
1 400
400
56
40
1,6

Une batterie de 10 à 20 volants de 1 m3 chacun est donc capable de stocker 1 Mwh, ce qui reste modeste à l’échelle d’un réseau, mais envisageable. Ce stockage est peu volumineux. Pour la même capacité, une STEP de 1 000 mètres de dénivellation (ce qui est déjà beaucoup) doit stocker 360 m3, soit 18 à 36 fois plus. Mais la STEP stocke de l’eau gratuite dans un lac en partie naturel, sans mécanique sophistiquée…

Comme disent les américains : « Devil is in the details »

Les principes simples des volants d’inertie s’accompagnent de nombreuses contraintes de conception :
  • Faire tourner à grande vitesse un volant d’inertie soumis à des contraintes élevées, avec une marge de sécurité réduite, impose de prendre en compte le risque d’éclatement du volant.  Pour cantonner ce risque à des dégâts matériels limités à cette seule unité, il y a lieu de placer le volant dans une enceinte de haute résilience (comme en nucléaire !) capable d’absorber l’énergie cinétique du volant, et de l’enterrer. Ci-dessous : crash d’un volant.

  • Selon son matériau, la vitesse périphérique du volant peut atteindre ou dépasser largement la vitesse du son dans l’air, ce qui engendre des turbulences importantes, c’est à dire une dissipation d’énergie sous forme aérodynamique, et finalement thermique, qui entraîne un ralentissement du volant. Pour éviter totalement cette dissipation, la seule solution est de faire un vide assez poussé dans l’enceinte de sécurité.
  • Afin d’éviter les fuites, les frottements et l’usure propres à des joints d’étanchéité, il sera souhaitable de placer dans la même enceinte vide :
    • Les paliers du volant
    • Le moteur, ou au moins son rotor, l’étanchéité pouvant être faite dans son entrefer, selon sa conception.
  • Ces paliers doivent supporter une charge lourde en rotation très rapide, et ce, avec une longue durée de vie. On pourrait penser à un axe vertical, avec une butée inférieure plate hydrodynamique, centrée par des roulements à billes ou à rouleaux. Mais ces solutions sont à éliminer, car elles nécessitent une lubrification incompatible avec le vide requis. Il faut recourir à des paliers magnétiques actifs, complexes, coûteux et consommateurs d’énergie…
  • La machine électrique conditionne les puissances d’entrée et de sortie de l’unité, ainsi que son rendement, ce qui est classique. Mais son rotor est placé dans le vide. Il s’en suit qu’il ne pourra dissiper ses pertes thermiques que par rayonnement, la convection étant nulle dans le vide, et la conduction impossible en l’absence de contacts. Il y aura donc lieu d’utiliser une machine de type synchrone, dans laquelle les champs magnétiques vus du rotor sont fixes (pas de pertes fer), et à aimants permanents, ou avec un flux d’excitation issu de l’extérieur via un entrefer supplémentaire (pas de pertes cuivre).
  • L’électronique de commande, extérieure à l’enceinte, devra être « réversible, 2 quadrants », c’est-à-dire un seul sens de rotation, mais couple positif ou négatif, et ce à vitesse variable, ce qui a un coût, mais ne pose pas de problème particulier.
  • Citons un problème qui aurait pu se poser, mais qui est en fait à peine perceptible : l’effet gyroscope résultant de la rotation terrestre. En effet :
    • Le calcul montre que pour une énergie cinétique de 100 Kwh, et dans le cas le plus défavorable (axe perpendiculaire à celui de la terre), le couple de précession exercé sur les paliers n’excède pas 80 Nm, ce qui est négligeable.
    • On pourrait aussi installer les volants avec leur axe parallèle à celui de la terre (soit inclinés  de 45° vers le nord sous nos latitudes) pour qu’il n’y ait pas de précession, mais ce serait une contrainte supplémentaire inutile.
    • Mais dans d’autres applications, telles les véhicules susceptibles de rotations rapides selon chacun des 3 axes (tangage, roulis, lacet), ce problème serait bien réel !

  Conclusion

Les volants d’inertie constituent un moyen de stocker l’énergie électrique avec des avantages certains:
  • Excellent rendement d’entrée et de restitution.
  • Pas de contrainte géographique, contrairement aux STEPs.
  • Capacité inégalable à entrer en service instantanément.
  • Très faible dissipation d’énergie dans une enceinte vide d’air, donc très bon rendement de stockage.
  • Energie volumique et massique compétitive.
  • Puissance massique très compétitive.
  • Longue durée de vie.
Ils ont aussi quelques inconvénients :
  • Les complications liées à leur fonctionnement dans une enceinte blindée et vide d’air, entraînent des technologies sophistiquées.
  • Prix très élevé résultant de ces technologies, et encore plus si l’on recourt à des matériaux légers et résistants tels que fibre de carbone HR ou titane permettant d’améliorer leurs performances.
  • Peu adaptés à un stockage de masse.
Pratiquement, on trouve actuellement ce type de stockage dans deux types d’applications :
  • Des groupes électrogènes de secours instantanés, plus performants que des batteries d’accumulateurs électriques, capables de se substituer instantanément à un réseau défaillant pour des utilisations sensibles. Ci-dessous, une baie Socomec de 200 Kw, mais seulement 1 Kwh, soit une autonomie de 18 secondes, en transition vers des batteries ou un groupe électrogène thermique.
  • Des batteries de volants liées au réseau pour compenser les fluctuations rapides de la consommation afin d’améliorer la qualité de ce réseau en tension et en fréquence, avec un objet similaire à celui du volant d’inertie d’un moteur thermique. Ci-dessous batterie de 200 volants de 100 kw, soit 20 Mw installée près de New-York par Beacon Power. La capacité n’est pas donnée, probablement assez courte pour ce type d’application.





Prospective

Au vu de ce qui précède, et dans l’hypothèse où, dans un futur lointain, un stockage, même à prix élevé, était rendu indispensable par un développement important des énergies renouvelables fatales au détriment du thermique et du nucléaire, il y aurait peut-être une solution à un stockage de masse en faisant appel aux techniques suivantes :
  • Volants d’inertie en acier dur, lourds, d’inertie très élevée, montés sur des butées et roulements à rouleaux (poids) et à billes (centrage axial) conventionnels,
  • Enceinte en légère surpression par rapport à l'atmosphère, remplie d’hydrogène ou de l’hélium, gaz légers réduisant les pertes aérodynamiques qui sont proportionnelles à la masse volumique. Les étanchéités sont ainsi simplifiées, les pertes sont réduites, la machine électrique peut être dans ou en dehors de l’enceinte. L'hydrogène (H2=2) présente la meilleure diffusivité thermique, donc le meilleur refroidissement de la machine électrique si elle est dans l'enceinte. Il est couramment utilisée dans les gros alternateurs de réseaux. L'hélium (He=4) est monoatomique, d'où l'avantage d'un "gamma"(=Cp/Cv) plus élevé, d'où un célérité du son plus élevée de 9%. Le choix reste à faire...
  • Effet d’échelle : la capacité énergétique est proportionnelle au volume, alors que les pertes aérodynamiques (à vitesse linéaire constante, ce qui est le cas), ne sont proportionnelles qu’à la surface, c’est-à-dire à la puissance 2/3 du volume : un doublement des dimensions réduit le taux de pertes de 20%.
 Mais seule une étude beaucoup plus poussée que le présent message permettrait de valider ces idées de l’auteur et de conclure.

Annexe : Calcul d’un volant d’inertie en forme de cylindre creux épais (cas général) :

Les formules des contraintes radiales et tangentielles en fonction du rayon sont tirées d’un cours de résistance des matériaux de l’ensmp. http://mms2.ensmp.fr/mmc_paris/annales/corrige2006.pdf


Paramètre
Symbole / Formule
Unité
Dimension
ISO
Géométrie
Rayon maximum
rM
m
L
0,50
Rayons courants
r9


0,47
r8


0,44
r7


0,41
r6


0,38
r5


0,35
r4


0,32
r3


0,29
r2


0,26
r1


0,23
Rayon minimum
rm
m
L
0,20
Hauteur
h
m
L
1,00
Volume
v = π (rM²- rm²) h
m3
L3
0,660
Matériau
Masse volumique
ρ
kg/m3
M L-3
7 800
Résistance pratique
σM
Mp
M L-1 T-2
700
Coefficient de Poisson
ν
Nombre
1
0,33
Dynamique
Masse
m = ρ v
kg
5 145,9
Moment d'inertie
J = ρ v (rM2 + rm2)/2
kg m2
M L2
746,2
Vitesse angulaire
ω
rad/sec
T-1
646,4


t/min

6 172,7
Energie cinétique
E = J ω2/2 =  ρ v (rM2 + rm2)/4
Mj
M L2 T-2
155,9


Kwh

43,3
Contraintes
Contrainte radiale maxi
σr = - ρω2(3+ν)(r2-rM2) (r2-rm2) /(8 r2)
Mp
M L-1 T-2
122,0
Contrainte tangentielle maxi
σt = ρr2ω2[(3+ν)[rM2 rm2/r4 + (rM2 + rm2)/r2]- (1+3ν)]/8
Mp
M L-1 T-2
700,1
Contrainte résultante maxi
σM = (σr2 + σt2)1/2
Mp
M L-1 T-3
700,1
Coefficient de forme
k = E / v σM
Nombre
1
0,337
Aérodyn.
Vitesse périphérique
vp = rM ω
m/sec
L T-1
323,2
Célérité du son à 20°C
c
m/sec
LT-1
343,1
Nombre de Mach
M 
Nombre
1
0,94
Gyro.
Vitesse de précession
Ωp
rad/sec
T-1
7,3E-05
Couple sur le gyroscope
τ = J Ωp ^ ω
N^m
M L2 T-2
35,1